Образование в России

Образование в дореволюционной гимназии и наше время.

Автор работы:

Данилина Ольга Сергеевна,

учитель математики.

Актуальность

Интерес к данной теме возник у нас после прочтения произведения Антона Павловича Чехова «Репетитор». В своем рассказе автор предлагает интересную задачу, которая по условию решается «без алгебры». С ходу, не прибегая к использованию системы уравнений, решить нам данную задачу не удалось. В нашей работе мы попробуем разобраться, возможно ли все-таки решение таких задач арифметическим способом, а также окунемся в историю с целью выяснения уровня образования в дореволюционные времена.

Основываясь на задаче из произведения всем нам известного автора, мы предположили, что уровень образования в гимназиях в дореволюционные времена был высоким, возможно мы даже в какой-то степени проигрываем ученикам того времени. Эта задача предлагалась для решения в 6классе, потом в 7, только в 10 классе нашелся человек, предложивший верное решение. Конечно возник вопрос: «В чем дело?». Почему мы уступаем отставному губернскому секретарю Удодову? Что мы упускаем? Что делать? Ведь математика и присущий ей стиль мышления должны рассматриваться как необходимый элемент общей культуры современного человека, что и отражалось и на развитии школьного математического образования. К работе подключились ученики 10 класса. Вот результат наших рассуждений и поисков.

Цельюнашего исследования стало рассмотрение арифметического способа решения приведенной задачи из рассказа А. П. Чехова «Репетитор», а также анализ математического образования XVIII - начала XX века.

Задачиисследования состояли в подробном изучении текста задачи, выявлении нескольких способов ее решения, знакомстве с новыми видами уравнений, методами упрощенного вычисления, а также изучении исторического аспекта, а именно, каков же был уровень образования в до революции веке?

— Ну-с... — начинает Зиберов, закуривая папиросу. — Вам задано четвертое склонение. Склоняйте fructus!

Петя начинает склонять.

— Опять вы не выучили! — говорит Зиберов, вставая. — В шестой раз задаю вам четвертое склонение, и вы ни в зуб толкнуть! Когда же, наконец, вы начнете учить уроки?

— Опять не выучил? — слышится за дверями кашляющий голос, и в комнату входит Петин папаша, отставной губернский секретарь Удодов. — Опять? Почему же ты не выучил? Ах ты, свинья, свинья! Верите ли, Егор Алексеевич? Ведь и вчерась порол!

И, тяжело вздохнув, Удодов садится около сына и засматривает в истрепанного Кюнера. Зиберов начинает экзаменовать Петю при отце. Пусть глупый отец узнает, как глуп его сын!

«Мешает, скотина, заниматься... — думает Зиберов. — Сидит над душой тут и надзирает. Терпеть не могу контроля!»

— Ну-с, — обращается он к Пете. — К следующему разу по латыни возьмете то же самое. Теперь по арифметике... Берите доску. Какая следующая задача?

Петя плюет на доску и стирает рукавом. Учитель берет задачник и диктует:

— «Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?» Повторите задачу.

Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.

— Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!

Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.

«Странно... — думает он, ероша волосы и краснея. — Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая»...

«Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то».

— Решайте же! — говорит он Пете.

— Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! — говорит Удодов Пете. — Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.

Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.

— Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил... понимаете? Теперь, вот, надо вычесть... понимаете? Или, вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте…

Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.

— И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. — Вот, извольте видеть…

Он щелкает на счетах, и у него получается, что и нужно было.

— Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Учителю становится нестерпимо жутко. С замиранием сердца поглядывает он на часы и видит, что до конца урока остается еще час с четвертью — целая вечность!

— Теперь диктант.

После диктанта — география, за географией — закон божий, потом русский язык, — много на этом свете наук! Но вот, наконец, кончается двухчасовой урок. Зиберов берется за шапку, милостиво подает Пете руку и прощается с Удодовым.

— Не можете ли вы сегодня дать мне немного денег? — просит он робко. — Завтра мне нужно взносить плату за учение. Вы должны мне за шесть месяцев.

— Я? Ах, да, да... — бормочет Удодов, не глядя на Зиберова. — С удовольствием! Только у меня сейчас нету, а я вам через недельку... или через две...

Интересен тот факт, что ученик седьмого класса знаком с неопределенными уравнениями, которые в наше время изучаются только в старших классах с углубленным изучением математики. К слову, использование неопределенных уравнений не является самой удачной идеей для решения этой задачи. Никто никогда не будет решать эту задачу с помощью диофантовых уравнений, а мы решила попробовать. Почему нет.

Глава 1. Диофантовы уравнения.

Неопределенными уравнениями первой степени с двумя неизвестными называются уравнения вида ax+by=с, где a, и b не равны нулю. Решениями неопределенного уравнения называют любые пары чисел (a;β), которые удовлетворяют уравнению.

Рассмотрим наш случай: 5x+3y=540, где a,b,c, - целые числа по условию задачи, необходимо найти целочисленное решение.

По теореме 1: Если свободный член неопределенного уравнения ax+by=с не делится на НОД (а,b), то уравнение не имеет решения. У нас в этом смысле все благополучно:

НОД (5;3) = 1;

540 : 1 = 540.

По теореме 2: Если коэффициенты a и b неопределенного уравнения ax+by=с являются взаимно простыми числами, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение. Это вполне соответствует нашему случаю, где 3 и 5 — взаимно простые числа.

В дореволюционной гимназии изучали несколько методов решения диофантовых уравнений:

1) метод подбора:

Этот прием решения неопределенного уравнения целесообразно употреблять в тех случаях, когда коэффициент при каком-либо из неизвестных не велик по модулю.

2) метод спуска:

Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестным.

3) метод цепной дроби:

Методом бесконечного спуска называют рассуждения, проходящие по следующей схеме: предположив, что у задачи есть решения, строим некоторый бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём-то закончиться. Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем

Пример:

Решить уравнение 5x + 8y = 39 в целых числах.

Решение.

1 . Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это x), и выразим его через другое неизвестное:

2 .Выделим целую часть:

Очевидно, что x будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 − 3y без остатка делится на 5.

3 .Введем дополнительную целочисленную переменнуюz следующим образом: 4 − 3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.

4. Решаем его уже относительно переменнойy,

В ыделяя целую часть, получим:

5. Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u:

3u = 1 − 2z.

6 . Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменнуюz:

Требуя, чтобы выражение было целым, получим:

v= ; 1 − u =2v,

Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тех пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).

7. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

8. Формулы x = 3+8v и y = 3−5v, где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой через другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств, для получения общего решения уравнения.

4) алгоритм Евклида:

Мы воспользовались методом подбора. Его суть состоит в том, чтобы подобрать одну пару решений (α ; β ), а затем записать формулы, которые позволяют искать множество других решений:

ax+by=c;

x= α+bt;

y= β-at.

Облегчая задачу подбора, выполним некоторые преобразования:

5x+3y=540;

5x=540-3y;

Отсюда видно, чтоy – число, кратное 5.

Пусть y=5, тогда

=105,

тогда решенияx=105+3t;y=5-5t

(105; 5)

Но мы ограничены тем, что купец купил 138 аршин черного и синего сукна:

x+y=138.

105+3t+5-5t=138;

-2t=138-110;

-2t=28;

t=-14.

Получаем ответы:

x=105+3(-14)=63 и y=5=5*(-14)=75.

Все это интересно, но как же получить виртуозное решение отца Удодова, которое отставной губернский секретарь блестяще продемонстрировал на счетах. Чтобы выйти из положения, мы вынуждены были опять зацепиться за уравнение. По-другому не получалось.

Итак, сначала, к сожалению, было уравнение, а потом только на его основе было выстроено арифметическое решение:

5x+3y=540;

3x+2x+3y=540;

(3x+3y)+2x=540;

3(х+y)+2y=540;

3*138+2x=540;

2x=540-414;

2x=126;

x=63 аршина синего сукна; y=75 аршин черного сукна.

5-3=2(раза) — разница в цене.

Нужно выяснить, какая сумма на счетах приходится на эту разницу:

1) 138+138+138=414(р.) - сколько мы могли бы заплатить в том случае, если цена черного и синего была бы одинаковой.

2) 540-414=126(р.) - приходится на разницу в цене.

3) 126:2=63(арш.) - количество синего сукна.

Глава 2. Методы решения головоломок в программе гимназистов.

Вспомнилась задача из занимательной математики про животных и их количество ног Оказалось, что подобные головоломки гимназисты изучали на уроках. Как видно, ничего нового. Но решать такие простые, на первый взгляд, головоломки ученикам дореволюционных гимназий приходилось не без помощи логики и смекалки. Например, умножение на пальцах позволяло не тратить время на зазубривание наизусть таблицы умножения, а элементарный способ проверки правильности вычислительных операций с участием 9, касающихся сложения и умножения, помогал не допустить ошибку в подсчетах. Также довольно актуален был поиск НОД методом Евклида.

Умножение на пальцах.

«Способ к твержению таблицы по перстам ручным...»

Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. На примере 7 ⁎ 7 на каждой из рук должно быть загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения ( 4 десятка и 9 единиц).

Так можно вычислить произведение любых однозначных чисел, больших, чем 5.

Проверка» сложения.

Для уверенности в надежности вычислений в старину употреблялись некоторые методы «проверения» (проверки). Один из методов проверки правильности сложения был таков:

Допустим, что, найдя сумму нескольких чисел, мы хотим убедиться в правильности слеланных вычислений. Прибавим друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделим с остатком на 9. Остаток запомним. После этого сложим все цифры вычисленной суммы и результат разделим на 9. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно; в них вкралась ошибка.

«Проверка» умножения.

Так же, как и в предыдущем случае проверялось сложение, можно проверить и умножение. Допустим, что перемножив два числа, мы хотим проверить правильность вычислений. Для этого найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.

Алгоритм Евклида.

Этот способ основывается на следующих свойствах НОД:

1. Если а делится на число b без остатка, то bесть НОД чисел а и b; например, 48 делится без остатка на 16, поэтому НОД(48;16) = 16;

2. Если а не делится на число b без остатка, а при делении получается остаток r, то есть а = b · q + r,то НОД(a,b) = НОД(b,r),что легко доказывается на основе признаков делимости произведения и разности двух чисел. Например, пусть а = 48, b = 15; разделив aнаb,то есть 48 на 15, получим частное q = 3 и остаток r = 3. Значит, 48 = 15 · 3 + 3; НОД(48, 15) = 3. В данном случае остаток (r = 3) является делителем числа b = 15, в общем же случае это обстоятельство не имеет места, и тогда приходится разделить первый остаток на второй и так далее, пока не получится частное без остатка.

Пример: Найти (213, 126).

Произведем следующий ряд последовательных делений:

1) 213:126 = 1, первый остаток r₁ = 87;

2) 126:87 = 1, второй остаток r₂ = 39;

3) 87:39 = 2, третий остаток r₃ = 9;

4) 39:9 = 4, четвертый остаток r₄ = 3;

5) 9:3 = 3, пятый остаток r₅ = 0.

Последний отличный от нуля остаток, в данном случае r₄ = 3,есть НОД данных чисел.

Глава 3. Исторический аспект.

Итак, следующим этапом нашего исследования стал анализ математического образования в дореволюционной России.

Широкое распространение математической литературы приходится на XVI-XVII века. В основном такие книги были предназначены для купцов, ведь торговая практика требовала умения правильно выполнять вычисления с большими числами, землемеров и ремесленников. В книгах содержались указания о том, как поступать при решении той или иной задачи. Правила сопровождались разнообразными примерами и иллюстрациями для наглядности. Эти рукописи с практическими задачами стали основой для учебников XVIII века.

Эпоха Петра I требовала специалистов для строительства нового флота, для развития промышленности.

В 1703 году огромными по тем меркам тиражами издается «Арифметика» Магницкого. Эта книга на несколько десятков лет становится основой для изучения математики. Для учебника Магницкого характерно наличие большого числа задач с остроумными, занятными формулировками, а также разнообразных способов их решения.

В 1725 году для работы в Петербург приезжает двадцатилетний швейцарец Эйлер, в будущем великий математик. Впоследствии он издает ряд учебников, которые являются основой для создания и развития русской математической школы.

Подчеркиваем, что материал в этих книгах изложен ясно, доходчиво, он сопровождается огромным количеством увлекательных задач практического содержания.

В конце 1794 года выходит книга «Детский гостинец или 499 загадок». В ней содержатся загадки, занимательные вопросы, небольшие истории. Главное, в предисловии к ней сказано: «Книга, сей источник просвещения и истинного удовольствия, не может быть источником скуки и горести...»; «надобно уметь делать в упражнениях радость».

Изучая содержание старинных математических книг, мы пришли еще к двум выводам:

• многие задачи имеют очень объемные тексты;

• часто встречаются денежные расчеты.

Удивительным оказался тот факт для нас, чтобы поступить в гимназию, нужно сдать экзамен. Не важно, к какому сословию ты принадлежишь и сколько у тебя денег. Если не сдал, то не поступил.

Делаем вывод: для того, чтобы наша страна стала передовой экономической державой, нам нужно больше людей, умеющих мыслить и принимать нестандартные решения. Значит нужно обратить внимание на содержание нашего образования и реально в некоторых вопросах отойти от стандартов, взять какие-то моменты от нашей старой гимназической школы.

Конечно, это сложно делать в рамках всей страны. Но можно создавать отдельные классы или школы, в которые можно будет поступать только сдав экзамены и сдавать их ежегодно, например.

Проанализировав одну из задач курса математики второго класса дореволюционной гимназии, нам показалось, что уровень сложности программы превосходит современный. Это сказывалось на высоких темпах развития математической науки, а также находило свое предназначение и в быту. И это было одной из основных причин того, что Россия в начале ХХ века переживала бурный экономический рост и она находилась в числе наиболее экономически развитых стран. Именно в то время создаются пособия, тренирующие логику и смекалку, которые предназначались как для учеников, так и для купцов, землемеров, ремесленников. Решение сложных задачек сопровождалось использованием «хитрости» при проверке вычислительных действий.

Итак, наше предположение подтвердилось. То, что проходили школьники второго класса того времени, изучается в современных школах аж в старшем звене.

Что ставилось во главу этого образования? Это упор на развитие логического мышления. Алгебра значительно упрощает решение задачи, но способствует развитию умения анализировать, рассуждать, то есть развивать умственные способности, поиск других методов решения.