Урок алгебры в 9 классе "Арифметическая и геометрическая прогрессии. Нестандартные задачи"

Ямало - Ненецкий автономный округ

г.Губкинский

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа № 9" г.Губкинского

Урок алгебры в 9 классе

"Арифметическая и геометрическая прогрессии. Нестандартные задачи"

Учитель математики: Барлет Неля Петровна

2024 г.

В каждом классе есть учащиеся, которые пытаются самостоятельно проводить исследования по тем или иным математическим вопросам. Для них целесообразно проводить отдельные уроки, где можно показать и защитить результаты своей творческой работы.

Подготовка к уроку может длиться до двух недель. Объявляется тема, даётся список рекомендованной литературы, определяется время написания рефератов и дата их проверки. На протяжении всего времени учитель проводит консультации: помогает определиться с использованием литературы, разобраться с более сложным теоретическим материалом, объясняет решение некоторых задач, просматривает и корректирует рефераты, отбирает наиболее удавшиеся работы для защиты. В это же время ученики, которые не работают над рефератами, готовят вопросы выступающим.

В представленной разработке урока показаны несколько работ учащихся, которые, считаю, были наиболее интересны.

Тема урока. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Нестандартные задачи.

Цели урока: формировать умения применять полученные знания в нестандартных

условиях, учить анализировать и систематизировать те знания, которые

учащиеся получают на уроках и в дополнительной литературе;

развивать логическое мышление;

воспитывать настойчивость, чувство ответственности, уверенности в себе.

На экране надпись:

Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться

решать задачи, то решайте их.

(Д. Пойа)

Ход урока.

I. Актуализация опорных знаний (в форме беседы, участие принимают все учащиеся).

Вопросы для беседы.

1. Сформулировать определение арифметической прогрессии.

2. Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

3. Какой формулой можно записать любую арифметическую прогрессию?

4. Сформулировать определение геометрической прогрессии.

5. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

6. Записать формулу п-го члена арифметической прогрессии.

7. Записать формулу п-го члена геометрической прогрессии.

2. Записать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии.

3. Записать формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии.

4. Записать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой│q│ < 1.

II. Сообщение темы и цели урока.

Объявляются фамилии докладчиков и порядок их выступлений.

III. Творческое применение обобщенных знаний, навыков и умений..

Докладчики выступают со своими сообщениями. В конце каждого выступления учащиеся задают вопросы докладчику. Ученики, которые готовили рефераты, но на данном уроке не выступают, могут дополнять докладчика.

Первое выступление.

С давних времён известны задачи, в результате решения которых появляются числа - гиганты. Понятно, что речь идёт о задаче, связанной с геометрической прогрессией (q ˃ 1). Одна из наиболее известных задач из легенды о изобретателе шахмат. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахмат и предложил, чтобы он сам выбрал для себя награду. Царь был поражен скромностью просьбы: дать за одну клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - две, за третью - ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую - ещё в два раза больше, и так до 64 клеток. Возникает закономерный вопрос: сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат?

Эта задача впервые появляется у великого математика из Хорезма - аль-Бируни (973 - 1048 г.г.). Количество зёрен, о которых ведётся речь в задаче, является суммой 64членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель - 2.

Найдём эту сумму (S) несколько иным способом, нежели в школьном учебнике:

S = 1 + 2 + 2+ 2+... + 2+ 2 ;

S = 1 + 2(1 + 2 + 2+... + 2 );

S = 1 + 2(S - 2 );S = 1 + 2S - 2 ;

S = 2- 1.

Подсчитано, что количество зёрен, которые хотел бы получить изобретатель шахмат - 18446744073709551615, что приблизительно составляет 13,8 млрд.40-тонных вагонов. Это количество зерна, рассыпанное по всей поверхности Земли, образует шар, в котором на 1 мприходится 4,3 кг зерна.

Аналогично можно вывести формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии в общем виде:

S = b + b q + b q + ... + b q;

S = b + q(b+ b q + ... + b q); S = b + q(S - b q);

S = b + qS -b q;qS - S = b q-b;S(q - 1) = b(q- 1);

S = ,q ≠ 1.

Пример 1. НайтисуммуS = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 + 256 - 512;

S = 1 - 2(1 - 2 + 4 - ... +256); S = 1 - 2(S + 512);

3 S = - 1023; S = - 341.

Пример 2. НайтисуммуS = 1 + + + ... + .

S = 1 + (S - ); 2S = 2 + S- ;S = 2 - .

Второе выступление (фрагмент).

Задача 2. Решить уравнение

(х+х + 1) + ( х+ 2х + 3) + (х+ 3х + 5) + ... + (х+ 20х + 39) = 4500.

Слагаемые х+х + 1, х+ 2х + 3, х+ 3х + 5, х+ 20х + 39 образуют арифметическую прогрессию, у которой d = x +2, n = 20.

Тогда S= ∙ 20. С другой стороны S= 4500.

Значит, ((х+х + 1) + (х+ 20х + 39)) ∙ 10 = 4500; 2 х+ 21х - 410 = 0. Корни этого уравнения, а значит, и начального: х = 10; х = - 20,5.

Третье выступление.

Задача 1. Решить уравнение 2х + 1 + х - х+х-х + ... = , где │х│< 1.

Перепишем уравнение в следующем виде: 2х + 1 + (х - х+х-х + ...) = . (*)

В скобках получили сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где b=х,q = - х. По формулеS = эта сумма равна .

Поэтому уравнение (*) равносильно такому уравнению:

2х +1 + = ; 18 х +5х - 7 = 0.

Корни уравнения х = ;х = - .

Задача 2. Решить уравнение + х + х + ... + х+ ... = , где │х│< 1.

Решение аналогично предыдущему:

+ (х + х + ... + х+ ... ) = ;+ = ;

9 х - 9х + 2 = 0; х = ;х = .

Обсуждение выступлений. Ученики выражают своё мнение о защите творческих работ, анализируют эти работы (соответствие теме, полнота раскрытия, красота и логика изложения), вносят дополнения, делают поправки.

IV. Итоги урока. Учитель подытоживает выступления, указывает на культуру математической речи и речи вообще, на лаконичность и ясность докладов и ответов на вопросы. Оценки выставляются за основные выступления и за дополнения к ним.