Использование свойств тригонометрических функций в профессиональных задачах.

Практическая работа № 31 (61- 62)

Тема: Использование свойств тригонометрических функций в профессиональных задачах.

Количество часов:2 часа.

Цель: приобрести навыки использования свойств тригонометрических функций в профессиональных задачах.
(специальность Сетевое и системное администрирование)

Методические указания к выполнению:

Выполните задания согласно своему варианту. Работу оформите по схеме решения типовых заданий.

Типовое задание 1. Используя формулы тригонометрии, найти главный период функции:

Типовое задание 2.Изучить и законспектировать теоретический материал.

1. Колебания и волны.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени.

Такие процессы называют колебательными.Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемыегармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω₀ задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

x(t) = A sin(ωt + φ₀) или x(t) = A cos(ωt + φ₀) где: 

x – смещение тела от положение равновесия, 

t – время.

A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, 

ω – циклическая или круговая частота колебаний (или угловая скорость)
ω = 2Π/T, где  t – время.

φ – величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ₀, называется фазой гармонического процесса.

Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

T – это минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний(главный период функции).

Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

2. Переменный ток.

О собую роль в электродинамике играет синусоидальный (гармонический) ток, то есть электрический ток, изменяющийся по закону синуса или косинуса:

, где - амплитуда тока, – фаза колебаний, – циклическая частота колебаний.

На рисунке приведён пример синусоидального электрического тока , если

Основные характеристики

1. Амплитуда колебаний   силы тока  - максимальное отклонение силы тока  от своего среднего значения. Размерность амплитуды колебаний той или иной физической величины совпадает с размерностью этой величины. В системе СИ единица измерения   - Ампер, то есть размерность А.

2. Циклическая частота  колебаний силы тока количество полных колебаний силы тока  за  секунд. В системе СИ единица измерения радиан в секунду, то есть размерность рад/с. Поскольку радиан безразмерная величина, то размерность циклической частоты  можно представить в виде с^-1.

3. Период колебаний T силы тока   время одного полного колебания силы тока. В системе СИ единица измерения   секунда, то есть размерность с.
   За время, равное периоду колебаний, повторяется не только величина тока, но и его направление. Он зависит от циклической частоты и определяется формулой:

Типовое задание 3. На рисунке изображён график функции   Найдите значение параметра a.

Определение значения параметра a для системных администраторов и программистов поможет лучше понять динамику изменения нагрузки на сервер и оптимизировать производительность. a — амплитуда функции, b - вертикальное смещение.

Изучение графика и определение максимального и минимального значения функции, может быть сопоставимо с мониторингом производительности системы (например, использование CPU или RAM). Использование формулы для амплитуды в контексте системного администрирования может представлять собой пиковые значения нагрузки:

Проверим еще одним способом: a=(y_max-y_min)/2=(0.5-(-2.5))=1.5.

Это значение амплитуды может быть использовано для настройки алертов (событие в ИТ-инфраструктуре организации, которое было отмечено Open Single Management Platform как необычное или подозрительное и которое может представлять угрозу безопасности ИТ-инфраструктуры.) в системе мониторинга (например, Zabbix или Prometheus) и для планирования обновлений инфраструктуры с учетом пиковых нагрузок.

Типовое задание 4. На рисунке изображён график функции Найдите a.

Типовое задание 4. Найти главный период функции ,что поможет понять динамику изменения нагрузки на сервер и оптимизировать производительность. Это значение может быть сопоставимо с циклом нагрузки на сервер, что позволяет планировать время выполнения задач и распределение ресурсов.

Решение:

Типовое задание 5. По уравнению гармонических колебаний определите амплитуду, угловую скорость, фазу, период и частоту. Начертите график данного гармонического колебания. х = 10 sin πt

к 7" /Решение:

Из формулы

x(t) = Asin(ωt + φ₀)  находим:

А=10 (м)

ω= 1*π≈3.14 (рад/с)

φ=0

T= 2Π/ ω  T =2Π/1 Π=2(с)

ν =1/ T ν =1/2=0,5 Гц

Вопросы для самоконтроля:

1. Проверьте себя:

1. Какие процессы называют колебательными?

2. Что изменяется в электродинамике по закону синуса или косинуса?

3. Что представляет собой уравнение движения для гармонических колебаний?

Список рекомендованной литературы:

1. 1. Математика: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 2-е изд., М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2024. – 288 с. ISBN 978-5-0054-2706-9

   2. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни: учебник/ С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин. – 10-е изд., стер. – Москва: Просвещение, 2022. – 431, [1] с.: ил. (МГУ – школе). ISBN 978-5-09-087768-8.

Ответы на практическая работу № 31 (61-62)