Конспект урока "Сложение и умножение числовых неравенств"

Урок в 9 классе по алгебре на тему

"Сложение и умножение и числовых неравенств"

Учебник:«Алгебра. 8 класс» (авт. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир) 

Цель:

рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.

привитие интереса к изучаемому предмету;

формирование математического мышления и умения учащихся воспроизводить мысли устной и письменной речью.

Планируемые образовательные результаты:

Личностные: развивать находчивость при решении задач. Критически оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль. Готовность учиться самостоятельно. Доброжелательно и уважительно относиться к другим людям, уметь работать в режиме диалога.

Метапредметные:

Познавательные: Принимать учебную проблемную ситуацию и рассматривать ее как начальный этап ее последующего обсуждения и разрешения. Выдвигать гипотезы и их обосновывать. Использовать знаково-словесные способы кодирования информации. Структурировать знания. Осознанно строить речевое высказывание в устной форме.

Регулятивные:Планировать и корректировать собственные учебные действия. Осваивать навыки самоконтроля. Находить и исправлять ошибки (своих собственных и допущенных другими). Прогнозировать результат вычисления. Оценивать себя.

Коммуникативные:Планирование учебного сотрудничества, определение цели, функций участников и способы взаимодействия. Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении

Предметные: Уметь читать числовые неравенства; знать свойства числовых, уметь доказывать их и применять их на практике. Уметь оценивать значение выражения, используя свойства числовых неравенств.

Тип урока:  урок изучения и первичного закрепления новых знаний

План урока:

1. Организационный этап;

2. Проверка д.з.

3. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (повторение ранее пройденного материала);

4. Создание проблемной ситуации и поиск путей решения проблемы

5. Формулировка целей урока

6. Формирование новых знаний;

7. Разминка для глаз

8. Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений. Формирование и отработка навыков и умений, изученных в ходе урока;

9. Самостоятельное использование сформированных умений и навыков Самостоятельная работа

10. Домашнее задание

11. Итоги урока.

12. Рефлексия деятельности

ХОД УРОКА

1.Организационный момент

Сообщить девиз урока: «Слушать и слышать.

Смотреть и видеть.

Думать и рассуждать.

2. Проверка домащнего задания

Решение показывается с помощью проектора и компьютера.

3. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (повторение ранее пройденного материала)

Устная работа:Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств.

Устно (условия заданий проектируются на экране, работа проходит фронтально, при выполнении заданий учащиеся поясняют, какие теоремы применяли, т.е., что можно делать с обеими частями неравенства)

- Теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств.

Теорема 1. Если а>b, то b <а; если а<b , то b > а

Теорема 2.Если а<b и b < с, то а < с

Теорема 3. Если a<b и с– любое число, то а + с < b + c

(Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство)

Теорема 4(1). Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство

Теорема 4(2). Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие из теоремы: если а и b – положительные числа

и a < b, то. 2 < 5, значит >

Повторим на конкретных примерах, как действуют эти правила.

1.Найди ошибку ( устно) ( если неверно поднимаете руку вверх)

Пусть x > y, выберите верные неравенства:

1. x – 3 < y – 3

2. 5x > 5 y

3. 8 + x > y + 8

4. −7x > −7y

5. 10 – x < 10 – y

2.Блиц-опрос (устно) . Пусть a < b. Какой знак > или < надо поставить вместо  , чтобы получилось верное неравенство?

1) a + 4  b + 4

2) −3,5a  −3,5b

3) 10,5a  10,5b

4) b – 6  a – 6

5) 6 b  6 a

3. (письменно) Оцените значение выражений и заполните пропуски, напишите знаки сравнения.

Если 7 < x < 11 , то 4x, – 3 + x, –x, 1/x

4* 7 <4* x < 4*11 ; 28 < 4x < 44 
7-3 <-3+ x < 11-3 ; 4 <-3+ x < 8

-7 > -x >-11; -11 < -7

>>  ; <

4.Создание проблемной ситуации и поиск путей решения проблемы ( мотивация учащихся к изучению новой темы)

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Предложить обучающимся задачу

«Измеряя длину а и ширину b прямоугольного участка, (в метрах), нашли

что 20 < a< 23 и 9 < b < 11. Оцените длину изгороди вокруг этого участка и его площадь».

Возможные наводящие вопросы :

1. Как найти периметр и площадь прямоугольника.

2. Что нужно сделать, чтобы оценить площадь и периметр?

3. Достаточно ли знания изученных ранее свойств для решения задачи?

Дети: Читают задачу, анализируют. Выдвигают свои способы (гипотезы) для решения поставленной задачи. Отвечают на вопросы :

1. Р=2*(а+b)

S=a*b.

1. Для оценки периметра нужно почленно сложить неравенства, а затем все части неравенства умножить на 2.

Для оценки площади необходимо умножить неравенства почленно.

Не знаем свойств когда неравенства почленно перемножаются и складываются

5.Формулировка темы урока.

Формулировка целей урока.

6. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.

Теорема 5.  

Если a < b и  c < d, то a + c < b + d

Доказательство
Прибавим к обеим частям неравенства a < b  число c, получим  a + c < b + c
Прибавим к обеим частям неравенства c < d  число b, получим   b + c < b + d
Из неравенств a + c < b + c и b + c < b + d  следует, что  a + c  <  b + d.

Вывод: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

Например: -7<15 -10>-13

⁺7<12 ⁺ 7 > 2

0< 27 верно -3> -11 верно

Теорема 6.   Если  a < b и  c < d, где a, b, c, d – положительные числа, то aс < bd.

Доказательство

Умножим обе части неравенства a < b  на положительное число c, получим aс < bd. 

Умножим обе части неравенства c< d  на положительное число b, получим bс < bd.

Из неравенств ac < bc и  bc< bd,  следует, что aс < bd

Вывод: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Пример 2. Перемножьте числовые неравенства:

Например:

7<15 10>6 -3<-5

^*3<10 ^*7 > 2 – 4< 6

21< 150 верно 70>12 верно 12< -30 неверно (почему?)

Следствие. :

Если числа а и b положительные и а <b, то aⁿ<bⁿ(n– натуральное число)

Например: 3 > 2, значит 3³> 2³

27 > 8 верно

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a > b и c  > d, то a + c > b + d;
если a > b, c > d и a, b, c, d – положительные числа, то ac > bd;
если a > b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число.

Учащиеся решают (устно)
Задания из дидактического материала:

1. Сложите почленно неравенства:

-5< 24 и 15< 35 -42<0 и -6<-1 9>-25 и -2> -5 78>33 и -22>-23 32>-1 и 14>7

2. Перемножьте почленно неравенства:

5<24 и 8<10 4,2<0 и 5<49 9>5 и 4>3 5>3,5 и 6>2 2>1 и 4>3

Возвращаемся к проблемной задаче.

Решают задачу №2.

Обучающиеся решают задачу.

20 м < a< 23 м и

9 м < b < 11 м

29 м< a+b < 34 м

58 м < P < 68 м

Тогда с помощью теоремы 6 можно оценить площадь прямоугольника. Имеем:

20*9м² <ab< 23*11м²

180 м² < S < 253 м²

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

Разминка (для глаз) - Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, прямоугольник, изображенный на слайде по часовой стрелке(красной) и следующий против часовой стрелки. Пробегите взглядом по жёлтой линии , затем по голубой. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и продолжим работу

6. Закрепление изученного материала

1.Решает учитель

Пример: Зная, что 7≤ x ≤9

2 ≤ y ≤ 5 Оцените: x+y , x-y , xy ,

Решение: 7 ≤ x ≤ 9 7 ≤ x ≤ 9

⁺2≤y≤ 5 -5 ≤ -y≤ -2

9 ≤х+у≤14 2≤ x-y ≤ 7

7≤x ≤9 7≤x≤9

^*2≤y≤ 5 ≤ ≤

14≤xy≤45 ≤ ≤

№ 65. Выполняют учащиеся

Выполним а), в), затем б), г)

7. Самостоятельная работа (с выставлением оценки)

Организация и контроль за процессом решения задач. Организация самоконтроля по готовому решению

Самостоятельно работают над заданиями. (слайд на доске) Проверяют себя по шаблону (слайд на доске)

8. Итоги урока 

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении числовых неравенств.

2. Сформулируйте теорему о почленном умножении числовых неравенств.

3. Как вы думаете, данные теоремы справедливы только для двух числовых неравенств?

4. Что значит оценить значение выражения?

9. Домашнее задание : Изучить п.3 учебника(выучить правила), №61,63, 66

10. Рефлексия

Ученикам предлагается закончить предложения:

Я сегодня познакомился с ...
У меня сегодня получилось ...

Какие вопросы остались для меня неясными?

Ребята, готовясь к уроку, я нашла интересный факт, связанный с неравенствами. Оказывается в книгопечатании знаки > и < появились раньше, чем знак =. Как вы думаете, почему? Оказывается, для знаков > и < использовалась типографская повернутая латинская буква v, а знака = тогда в типографском шрифте не было. Найдите и вы к следующему уроку интересные факты, связанные с неравенствами.