Обучение геометрическим доказательствам при изучении темы подобие треугольников

Обучение учащихся геометрическим доказательствам на примере темы: Подобие треугольников.

Доказательство – это цепочка логически связанных дедуктивных рассуждений, в котором среди частных посылок встречаются все условия задачи, общими посылками являются аксиомы, определения, теоремы, а последний вывод совпадает с требованием задачи.

Проблемы, связанные с сособностью учащихся доказывать утвеждения возникали давно. Методисты и педагоги предагали различные направления решения их:

• Сквозное понятие-дедуктивное умозаключение ( Ж.Д. Ахмедов, Г.Р. Бреслер)

• Использование средств наглядности (В.Н. Медведская)

• Усвоение учащимися готовых доказательств (З.И. Слепкань)

• Использование эвристик в процессе обучения ( Д.Пойа. А.К. Артёмов, Г.Д. Балк, Л.М. Фридман,

• Сведение задачи к подзадачам ( И.Г. Габович, В.А. Гусев, Г.Л. Муравьёва).

Можно выделить такие проблемы:

1. Слабое владение теоретическими знаниями.

2. Неумение использовать теоретические знания при доказательстве.

3. Недостаточность времени в рамках урока для проведения детального доказательства.

4. Нежелание учащихся решать задачи на доказательство.

5. Недостаточная подготовка учителя.

При решении задач на доказательство используем две основные мыслительные операции : анализ и синтез.

Основной вопрос анализа: Что нужно знать. чтобы ответить на поставленный вопрос.

Основной вопрос синтеза: Что можно узнать по данным условиям задачи.

Рассмотрим схему диалога учителя и ученика при аналитическом способе доказательства.

Схема диалога учителя и ученика при синтетическом подходе .

Итак, рассмотрим возможный подход при проведении доказательств по теме : Подобные треугольники.

1 этап.

Прежде чем приступать к доказательствам необходимо проверить глубину знаний учащихся по теме. Предлагаю использовать подход при котом учащимся необходимо установить истинность утверждения.

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то

такие треугольники подобны.

2. Любые два равносторонних треугольника подобны.

3. В подобных треугольниках все углы соответственно равны.

4. Если катеты одного прямоугольного треугольника равны 5 и 7, а катеты другого

равны 10 и 14, то такие треугольники подобны.

5. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

6. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то

такие треугольники подобны.

7. Если стороны одного треугольника равны 12, 15 и 18, а стороны другого равны

4, 5 и 8, то такие треугольники подобны.

8. Любые два равнобедренных треугольника подобны.

9. В двух равносторонних треугольниках отношение медиан равно коэффициенту

подобия этих треугольников.

10. Если площади подобных треугольников равны 4 и 36, то коэффициент подобия

этих треугольников равен 3.

2 этап.

Учащимся предложить некоторый алгоритм решения задач на подобие треугольников.

1. Предположить какие треугольники могут быть подобными.

2. Найти две пары равных углов в этих треугольниках или пару равных углов и равным отношение сторон заключающих эти углы.

3. Записать соответствующие равенства углов с указанием причины.

4. Записать подобие треугольников.

5. Записать соответствующее отношение сходственных сторон.

6. Подставить числовые данные и вычислить необходимую величину.

Перед началом доказательства вспомнить таблицу эвристик для определения равных углов в треугольниках.

Задача 1. На стороне АД параллелограмма АВСД взяли точку Е такую, что АЕ:ЕД=1:2. Докажите, что ВЕ делит диагональ в отношении 1:3.

Проведем диалог с учащимися аналитического характера.

Замечание. Если в задаче встречаются «песочные часы», то треугольники скорее всего подобны.

Д оказательство. ( следуем алгоритму)

Рассмотрим треугольники АКЕ и ВКС.

К = К( вертикальные)

А= С ( накрест лежащие при параллельных ВС, АД и секущей АС

Е= В

Итак треугольники КАЕ и КСВ подобны по двум углам.

Запишем соответствующее отношение сходственных сторон КА:КС=АЕ:ВС=1:3

Задача 2.

В выпуклом четырехугольнике АВСД, угол ВСА равен углу ВДА. Докажите, что угол АВД равен углу АСД.

Проводим анализ с учащимися и приходим к выводу о том , что доказать равенство углов возможно, используя подобие.

На рисунке мы видим пары треугольников. Одна пара подобна точно по двум углам. Если мы докажем подобие двух других треугольников. то равенство нужных углов возможно будет следовать из подобия этих треугольников.

Перед доказательством уместно вспомнить свойство пропорции: Если поменять местами крайние или средние члены пропорции, то получится верная пропорция.

Рассмотрим треугольники ВОС и АОД

С= Д ( по условию)

О= О ( вертикальные)

В= А

Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам. Из подобия следует, что

ВО:АО=СО:ОД. Поменяем местами средние члены пропорции. В результате получим; ВО:СО=АО:ОД. Стороны ВО и АО пропорциональны сторонам СО и ОД. Эти стороны заключают равные вертикальные углы треугольников АОВ и СОД. Согласно второму признаку подобия треугольников будут подобны треугольники АОВ и ДОС. В этих треугольниках против сходственных сторон АО и ОД лежат равные углы .

Задача 3. Отрезок АД виден под равными углами В и С. Докажите, что около четырехугольника АВСД можно описать окружность.

Выстроим диалог с учащимися синтетико-аналитического характера.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники АОВ и ДОС

В = С ( по условию)

О= О ( вертикальные)

А= Д

Значит треугольники ВОА и СОД подобны по двум углам.

ВО:СО=ОА:ОД. или ВО:ОА=СО;ОД. Таким образом отрезки ВО и СО пропорциональны отрезкам ОА и ОД, а углы образованные этими сторонами равны как вертикальные, значит, треугольники ВОС и АОД подобны по второму признаку. Стороны ВО и ОА, СО и ОД сходственные, поэтому угол С треугольника ВОС равен углу Д треугольника АОД.

Введем обозначения как на рисунке.

Так как сумма углов четырехугольника 360 градусов имеем:

А + В + С+ Д = 360

х+с+в+с+а+в+х+а=360 ; 2х+2с+2в+2а=360; х+с+в+а =180 или А +С =180

Итак. сумма противоположных углов равна 180 градусов, значит, около четырехугольника АВСД можно описать окружность.

Этот вывод можно будет использовать как эвристику существование окружности, описанной около четырехугольника.

Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Эту задачу предлагаем учащимся решить самостоятельно. В процессе решения можно использовать еще одну эвристику существования окружности, описанной около четырехугольника.

Если отрезок АД виден из точек В и С под прямым углом, то около четырехугольника АВСД можно описать окружность, причем АД будет диаметром этой окружности.

Задача 5. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.

Задача6. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Проведем диалог аналитического характера

Угол В в треугольнике ВСД заключают стороны ВС и ВД.

Угол Д в треугольнике АВД заключают стороны ВД и АД.

Проверим пропорциональность сторон ВС, ВД и ВД, АД.

ВС:ВД=4:16=1:4; ВД:АД=16:64=1:4

Итак. треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников.