«Уравнения, содержащие знак модуля»

Программа элективного курса

«Уравнения, содержащие знак модуля»

Учителя математики

Ивановой Лейсан Фархатовны.

Пояснительная записка.

Программа элективного курса предназначена для учащихся 9 класса.

Курс рассчитан на 17 часов. Содержание элективного курса направлено на то, чтобы

учащиеся осознали степень своего интереса к предмету.

Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, развитии умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В процессе решения уравнений по кодированию и декодированию информации развиваются творческий и прикладной аспекты мышления. Тема

«Уравнения, содержащие знак модуля» представляется особенно актуальным, так как вооружает учащихся элементарными знаниями , необходимыми для дальнейшего изучения математики.

Такой подбор материала преследует две цели. С одной стороны, это создание базы для развития способностей учащихся, с другой – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса. Включенный в программу материал может применяться для разных групп школьников за счет обобщенности знаниевого компонента и его производности от базового уровня. Программа ориентирована на практическое применение и обладает достаточной контролируемостью.

Данный курс предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе проводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале.

Цели курса:

Формирование и развитие у учащихся:

– интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений, содержащих модуль;

– интереса к изучению математики;

– умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;

– творческих способностей;

– коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, отстаивать свою точку зрения.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:

- решать уравнения, содержащие один, два, три модуля;

- способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем;

- интерпретировать результаты своей деятельности;

• делать выводы, обсуждать результаты.

• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Формы занятий – лекция установочная, практические занятия и в завершении

практикум решения уравнений.

Практические занятия проводить используя как коллективную форму обучения, так и

индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений начиная с простых и заканчивая уравнениями содержащих несколько модулей.

Учебно тематический план курса.

Содержание курса.

1. Определение модуля.

Основная цель – ознакомить учащихся с определением модуля числа. Теоретический материал излагается в виде лекции. Предусмотреть возможность творчества учащихся.

В лекции учащимся раскрывается содержание понятия модуля, его геометрическая интерпретация, основные теоремы. Лекция носит установочный характер и готовит учащихся к практической деятельности, а именно – к решению упражнений, связанных с операциями над модулями. Во время практических занятий учащиеся коллективно, а затем по группам работают над примерами различной степени сложности, содержащими модуль, находят значения буквенных выражений, содержащих модули. Практические занятия позволяют сформировать у учащихся достаточно полное представление о модуле числа, его свойствах.

1. Понятие уравнения, содержащего модуль.

Цель: ввести понятие уравнения, содержащего модуль и познакомить с способом решения.

Краткая лекция на основе базовых знаний об уравнении, типах уравнений, способах

их решения. Вводится понятие уравнения с модулем, решения уравнения.

На практических занятиях отрабатываются навыки решения различных типов

уравнений с модулями.

3.Решение линейных уравнений, содержащих один модуль.

Формы занятий – лекция установочная, практические занятия и в завершении

практикум решения уравнений.

Практические занятия проводить используя как коллективную форму обучения, так и

индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений , содержащих один модуль.

4.Решение линейных уравнений, содержащих два модуля.

Формы занятий – лекция установочная, практические занятия и в завершении

практикум решения уравнений.

Практические занятия проводить используя как коллективную форму обучения, так и

индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений , содержащих два модуля.

5.Решение линейных уравнений, содержащих три модуля.

Формы занятий – лекция установочная, практические занятия и в завершении

практикум решения уравнений.

Практические занятия проводить используя как коллективную форму обучения, так и

индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений , содержащих три модуля.

6.Графические способы решения уравнений.

Цель: ввести понятие уравнения, содержащего модуль и познакомить с

графическим способом решения.

Краткая лекция на основе базовых знаний об уравнении, типах уравнений, способах

их решения. Вводится понятие уравнения с модулем и рассматривается графический способ решения уравнения: на число корней, на приближённый характер ответа.

На практических занятиях отрабатываются навыки решения различных типов

уравнений с модулями графическим способом.

Итоговое занятие по данной теме - проверочная самостоятельная работа.

7.Решение квадратных уравнений, содержащих модуль.

Формы занятий – лекция установочная, практические занятия и в завершении

практикум решения квадратных уравнений, содержащих модуль.

Практические занятия проводить используя как коллективную форму обучения, так и

индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения квадратных уравнений, содержащих модуль.

8.Уравнения, содержащие модуль. Способы их решения.

Данная тема является наиболее важной в указанном курсе. Формы занятий – лекция установочная, практические занятия и в завершении

практикум решения уравнений.

Практические занятия проводить используя как коллективную форму обучения, так и

индивидуальную. На практических занятиях рассматривать решения уравнений начиная с простых и заканчивая уравнениями содержащих несколько модулей.

9. Заключительное занятие.

На заключительном занятии подводятся итоги изучения элективного курса.

План изучения решения уравнений, содержащих модули.

Занятие 1.Определение модуля.

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого числа. Модуль чиcла а обозначается |а|. Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Пример.

Решите уравнение: |х — 6| = 9.

Решение:

9

В А С

● | | ● | | | | | ● | | | | | | | | ●

-3 0 6 15 х

9

Если число 6 изобразить точкой А, то по определения модуля следует, что точка Х отстоит от точки А на расстоянии 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 — 9 = -3. Следовательно, уравнение имеет два решения: х =15 и х = -3.

Ответ: 15; -3.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: модулем положительного числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное число.

│a│ = { a, если а ≥ 0;

│a│ = {- а, если а < 0.

Примеры.

Решите уравнения:

1) |3 - х| = 7; 6) |2х — 5 | = 39;

2) |х - 5| = 39; 7) |28х — 37 | = 93;

3) |х - 8| = 12; 8) | 84 - 5х | = 64;

4) |х - 5| = 3;

5) |х + 8| = 1;

Ответы: 1) 10; -4. 6) 22; -17.

2) 44; -34. 7) -2; 4 9.

3) 20; -4. 14

4) 8; 2. 8) 29,6; 4.

5) -7; -9.

Занятие 2. Понятие уравнения, содержащего модуль.

Рассмотрим приемы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Простейшие уравнения вида |х — а| = b, где а и b — некоторые числа, нетрудно решать, используя геометрические представления. Как известно, расстояние между точками координатной прямой равно модулю разности координат этих точек. Поэтому задачу «решить уравнение |х — а| = b, где b > 0» можно сформулировать иначе: 2 найти координаты точек, находящихся на координатной прямой на расстоянии b единиц от точки с координатой а».

Пример 1.

Решим уравнение |х — 2| = 3.

На координатной прямой на расстоянии, равном трем единицам от точки 2, находятся точки с координатами -1 и 5 ( 2 — 3 = -1, 2 + 3 = 5). Значит, уравнение |х — 2| = 3 имеет два корня: -1 и 5.

Основной прием решения уравнений с переменной под знаком модуля состоит в том, чтобы, используя определение и свойства модуля числа, освободиться от знака модуля, заменяя данное уравнение равносильным ему уравнением, системой или совокупностью уравнений.

Начнем с наиболее простого случая, когда уравнение имеет вид |f(x) | = b, где

b — некоторое число.

Если b < 0, то уравнение |f(x) | = b не имеет корней.

Если b = 0, то уравнение |f(x) | = b равносильно уравнению f(x) = 0.

Если b > 0, то уравнение |f(x) | = b равносильно совокупности [f(x) = b,

f(x) = - b и множеством его корней является объединение множеств корней уравнений, входящих в эту совокупность.

Пример 2.

Решим уравнение | 2х + 3 | = 3х — 3.

Решение: I II

1 ) 2х + 3 = 0 ●

х = - 1,5 - 1,5 х

2) х < - 1,5

- ( 2х + 3) = 3х — 3

-5х = 0

х = 0 нет решения

3) х ≥ - 1,5

2х + 3 = 3х — 3

-х = -6

х = 6

Ответ: 6.

Пример 3.

Решим уравнение | 2х - 12 | + | 6х + 48 | = 160.

Решение:

а) Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:

2х — 12 = 0 6х + 48 = 0

х = 6 х = - 8

б) Найденные значения х разбивает числовую прямую на три промежутка:

х < - 8; -8 ≤ х ≤ 6; х > 6. Решение данного уравнения рассматриваем в каждом

промежутке отдельно.

I II III

● ●

- 8 6 x

в) I . х < - 8

- ( 2х — 12 ) - ( 6х + 48 ) =160

- 2х + 12 — 6х — 48 = 160

- 8х = 196

х = - 24,5 ( х < - 8 )

В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля,

отрицательны.

II. -8 ≤ х ≤ 6

В данном промежутке первое выражение, стоящие под знаком модуля,

отрицательно, а второе положительно.

- ( 2х — 12 ) + ( 6х + 48 ) = 160

- 2х + 12 + 6х + 48 = 160

4х = 100

х = 25

( не принадлежит данному промежутку )

III. х > 6

В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля,

положительны.

( 2х — 12 ) + ( 6х + 48 ) = 160

2х - 12 + 6х + 48 = 160

8х = 124

х = 15,8 (х > 6)

Ответ: -24,5; 15,8.

Примеры.

Решите уравнения:

1) | 3х - 1| = 5;

2) | 2 — 8х | = 0;

3) | 16х - 32| = -1;

4) | 56 — 8х | + | 36х + 144| = 356;

5) | 15х - 105 | + | 12х - 288| = 535;

Ответы: 1) -4/3; 2.

2) 1/4.

3) Ø.

4)-10 1 ; 5 4 .

11 7

5) -5 7 ; 34 10 .

27 27

Занятие 3 - 4.Решение линейных уравнений, содержащих один модуль.

Пример 1.

Решим уравнение | 6х - 4 | = 3х — 14.

Решение: I II

1 ) 6х - 4 = 0 ●

х = 2/3 2/3 х

2) х < 2/3

- ( 6х - 4) = 3х — 14

-6х — 3х = -14 - 4

-9х = -18

х = 2 нет решения

3) х ≥ 2/3

6х - 4 = 3х — 14

3х = - 10

х = -3 1 нет решения

3

Ответ: Ø.

Пример 2.

Решим уравнение: х -1 | 3х - 2 | = 3 — 1 (2х -5)

5 3

Решение: I II

1 ) 3х - 2 = 0 ●

х = 2/3 2/3 х

2) х < 2/3

х + 1 ( 3х - 2 ) = 3 - 1 (2х -5)

5 3

х +3 х - 2 = 3 — 2х + 5

5 5 3 3

2 4 х = 5 1

15 15

х = 2 4 нет решения

17

3) х ≥ 2/3

х -3 х + 2 = 3 — 2х + 5

5 5 3 3

1 1 х = 4 4

15 15

х = 4

Ответ: 4.

Примеры.

Решите уравнения:

1) | х + 2 | = 3х — 6 Ответ: 4.

2) | х - 3 | = 7 Ответ: - 4; 10.

3) |3х — 4 | = 36 Ответ: 40/3; - 32/3.

4) | х - 5| = 26 Ответ: 31; -21.

5) | 8 — х | = 12 Ответ: - 4; 20.

6) |2х - 5| = 3 Ответ: 4; 1

7) |х + 8| = 3 Ответ: - 5; - 12.

8) | х + 5 | = 4х — 7 Ответ: 9.

Занятие 5 – 6.Решение линейных уравнений, содержащих два модуля.

Пример 1.

Решим уравнение | 2х + 5 | - | 3х - 4 | = 2х + 2.

Решение :

1) 2х + 5 = 0 3х - 4 = 0

х = -2,5 х = 1 1

3

I II III

● ●

- 2,5 1 1 х

3

2) х < - 2,5

- ( 2х +5 ) + ( 3х - 4 ) = 2х + 2

- 2х — 5 + 3х — 4 = 2х + 2

х = - 11 ( х < - 2,5 )

3) - 2,5 ≤ х ≤ 1 1

3

2х + 5 + ( 3х + 4 ) = 2х + 2

2х + 5 - 3х + 4 = 2х + 2

3х = 1

х = 1/3

4) х > 1 1

3

2х + 5 - ( 3х - 4 ) = 2х + 2

2х + 5 - 3х + 4 = 2х + 2

-3х = - 7

х = 2 1

3

Ответ: - 11; 2 1 ; 1

3 3

Пример 2.

Решим уравнение | 2х + 5 | = | 3х - 1 | + 1 - 2х.

Решение :

1) 2х + 5 = 0 3х - 1 = 0

х = -2,5 х = 1/3

I II III

● ●

- 2,5 1/3 х

2) х < - 2,5

- ( 2х +5 ) = - ( 3х - 1 ) + 1 - 2х

- 2х — 5 =- 3х +1 +1 - 2х

3х = 7

х = 2 1 нет решения

3

3) - 2,5 ≤ х ≤ 1/3

2х + 5 = - ( 3х - 1 ) + 1 - 2х

2х + 5 = - 3х + 1 +1 - 2х

7х = - 3

х = - 3/7

4) х > 1/3

2х + 5 = 3х - 1 + 1 — 2х

х = - 5 нет решения

Ответ: - 3/7.

Пример 3.

Решим уравнение | 3х - 8 | - | 3х - 2 | = 6.

Решение :

1) 3х - 2 = 0 3х - 8 = 0

х = 2/3 х = 2 2

3

I II III

● ●

2/3 2 2 х

3

2) х < 2/3

- ( 3х - 8 ) + ( 3х - 2 ) = 6

- 3х + 8 + 3х — 2 = 6

0х = 0

х ϵ ( -∞; 2/3)

3) 2/3 ≤ х ≤ 2 2

3

-( 3х - 8) - ( 3х - 2 ) = 6

-3х + 8 - 3х + 2 = 6

- 6х = - 4

х = 2/3

4) х > 2 2

3

3х - 8 - 3х + 2 = 6

- 6 = 6 нет решения

Ответ: ( -∞; 2/3)

Примеры.

Решите уравнения:

1. | х -3 | + | 1 — х| = 4 Ответ: 0; 4.

2. | х -5 | + | 5 — х| = 0 Ответ: 5.

3. | 5 - х | - | 2 — х| = 3 Ответ: ( -∞; 2].

4. 7 - | х — 1 | + | х + 5 | = 0 Ответ: нет решения.

5. - | 3 — х | + | 2 - х | = 3 Ответ: нет решения.

6. | х + 1 | + | х — 4 | = 5 Ответ: х ϵ [ - 1; 4 ].

7. | у - 4 | + | у -6 | = 8 Ответ: 1; 9.

8. | у + 3 | - | у -2 | = 5 Ответ: ( - 3; +∞ ).

Занятие 7 – 8.Решение линейных уравнений, содержащих три модуля.

Пример 1.

Решим уравнение: 3х — 2 | х | + | х - 2 | - | х - 4 | = 3.

Решение :

1. 1. х = 0; х = 2; х = 4

I II III IV

● ● ●

0 2 4 x

2) х < 0

3х + 2 | х | - ( х - 2 ) + ( х — 4 ) = 3

3х + 2х — х + 2 + х — 4 = 3

5х = 5

х = 1 нет решения

1. 0 ≤ х < 2

3х - 2х — х + 2 + х — 4 = 3

х = 5 нет решения

1. 2 ≤ х ≤ 4

3х - 2х + х - 2 + х — 4 = 3

3х = 9

х = 3

1. х > 4

3х - 2х + х - 2 - х + 4 = 3

х = 1 нет решения

Ответ: 3.

Пример 2.

Решим уравнение: | х - 1 | - 2 | х - 2 | + | х - 3 | = 4.

Решение :

1) х = 1; х = 2; х = 3

I II III IV

● ● ●

1 2 3 x

2) х < 1

- х + 1 +2 ( х - 2 ) - 3 ( х — 3 ) = 4

-х +1 + 2х — 4 - 3х + 9 = 4

- 2х = - 2

х = 1 нет решения

1. 1 ≤ х ≤ 2

х - 1 +2 ( х - 2 ) - 3 ( х — 3 ) = 4

х - 1 + 2х — 4 - 3х + 9 = 4

0х = 0

х ϵ [ 1; 2 ]

1. 2 ≤ х ≤ 3

х - 1 - 2 ( х - 2 ) - 3 ( х — 3 ) = 4

х - 1 - 2х + 4 - 3х + 9 = 4

- 4х = - 8

х = 2 нет решения

1. х > 3

х — 1 — 2 ( х — 2 ) + 3( х — 3) = 4

х — 1 — 2х + 4 + 3х — 9 = 4

2х = 10

х = 5

Ответ: х ϵ [ 1; 2 ]; х = 5.

Примеры.

Решите уравнения:

1) |2 х - 16 | + | 5х + 20 | + | 3х — 30 | = 300 Ответ: - 27,4; 32,6.

2) | 36 - 12х | - | 5х + 20 | - | 7х — 35 | = 240 Ответ: нет решения.

3) | х | + | х - 1 | + | х - 2 | = 3 Ответ: 0; 2.

4) | х | + | х - 4 | + | х - 5 | = 12 Ответ: - 1; 7.

Занятие 9 – 10.Графические способы решения уравнений.

Пример 1. Графически решить уравнение: | х -3 | + | 1 — х| = 4

Решение:

Для того, чтобы решить графически уравнение | х -3 | + | 1 — х| = 4 , нужно построить график функции: у = | х -3 | + | 1 — х| - 4

1. х ≤ 1

у = - х + 3 + 1 — х — 4

у = -2х

1. 1 ≤ х ≤ 3

у = - х + 3 — 1 + х — 4

у = - 2

1. х ≥ 3

у = х -3 -1 + х — 4

у = 2х — 8

Ответ: 0; 4.

Пример 2. Графически решить уравнение: | 5 - х | - | 2 — х| = 3

Решение:

Для того, чтобы решить графически уравнение | 5 - х | - | 2 — х| = 3 , нужно построить график функции: у = | 5 - х | - | 2 — х| - 3

1)х ≤ 2

у = 5 — х — 2 + х -3

у = 0

2)2≤ х ≤ 5

у = 5 — х + 2 — х - 3

у = - 2х + 4

1. х ≥ 5

у = -5 + х + 2 — х - 3

у = - 6

Ответ: ( -∞; 2].

Пример 3. Графически решить уравнение: 7 - | х — 1 | + | х + 5 | = 0

Решение:

Для того, чтобы решить графически уравнение 7 - | х — 1 | + | х + 5 | = 0 , нужно построить график функции: у = 7 - | х — 1 | + | х + 5 |

1)х ≤ - 5

у = 7 + х — 1 — х — 5

у = 1

2)-5≤ х ≤ 1

у = 7 + х — 1 + х + 5

у = 2х + 11

1. х ≥1

у = 7 — х + 1 + х +5

у = 13

Ответ: нет решения.

Пример 4. Графически решить уравнение: | х -5| + | 5— х| = 0

Решение:

Для того, чтобы решить графически уравнение | х -5| + | 5— х| = 0 , нужно построить график функции: у = | х -5| + | 5— х|

1)х ≤ 5

у = - х + 5+ 5— х

у = -2х + 10

2)х ≥ 5

у = х — 5 — 5 + х

у = 2х - 10

Ответ: 5.

Пример 5. Графически решить уравнение: - | 3 - х| + | 2 — х | = 3

Решение:

Для того, чтобы решить графически уравнение - | 3 - х| + | 2 — х | = 3 , нужно построить график функции: у = - | 3 - х| + | 2 — х | - 3.

1)х ≤ 2

у = - 4

2) 2≤ х ≤ 3

у = 2х - 8

1. х ≥3

у = - 2

Ответ: нет решения.

Примеры.

Решите уравнения:

| х + 1 | + | х — 4 | = 5 Ответ: х ϵ [ - 1; 4 ].

| у - 4 | + | у -6 | = 8 Ответ: 1; 9.

| у + 3 | - | у -2 | = 5 Ответ: ( - 3; +∞ ).

Занятие 11 — 13.Решение квадратных уравнений, содержащих модуль.

Пример 1.

Решим уравнение | х² — 2х — 4 | = 4.

Решение:

Данное уравнение совокупности

х² — 2х — 4 = 4 х² — 2х — 4 = - 4

Решая первое уравнение, найдем, что оно имеет корни 0 и 2. Решая второе уравнение, найдем, что имеет корни -2 и 4. Объединение множеств корней этих двух уравнений, т.е.множество, состоящее из чисел 0, 2 ,-2 и 4, является множеством корней заданного уравнения.

Ответ: 0, 2 ,-2 и 4.

Остановимся теперь на решении уравнений вида |f (x) | = | g (x) |. Модули двух чисел равны, если эти числа либо равны, либо являются противоположными. Поэтому уравнение |f (x) | = | g (x) | равносильно совокупности

f (x) = g (x) f (x) = - g (x) .

Пример 2.

Решим уравнение | х² +2х — 1| = | х + 1 |.

Решение:

Это уравнение равносильно совокупности

х² +2х — 1 = х +1 или х² +2х — 1 = - ( х + 1)

Решая каждое из этих уравнений, найдем, что первое из них имеет корни 1 и — 2, а второе имеет корни 0 и — 3. Объединение множеств корней этих уравнений, состоящее из чисел 1, 0,-2 и -3 , является множеством корней заданного уравнения. Ответ: 1; -2; 0; -3.

Более сложным является случай, когда уравнение имеет вид |f (x) | = g (x). Из определения модуля следует, что корни уравнения должны удовлетворять условию

g (x) ≥ 0 . При соблюдении этого условия искомые корни уравнения должны также удовлетворять совокупности f (x) = g (x) или f (x) = - g (x) . Значит, уравнение |f (x) | = g (x) равносильно совокупности двух систем:

{f (x) = g (x) , g (x) ≥ 0 или {f (x) = - g (x), g (x) ≥ 0.

Пример 3.

Решите уравнение | х² — 4х + 3| = 2х — 5.

Решение:

Это уравнение равносильно совокупности двух систем

{ х² — 4х + 3 = 2х — 5, 2х — 5 ≥ 0 или { х² — 4х + 3 = -( 2х -5), 2х — 5 ≥ 0.

Решая уравнение х² — 4х + 3 = 2х — 5, найдем, что оно имеет корни 2 и 4. Из них условию 2х — 5 ≥ 0, т.е. х ≥ 2,5 ,удовлетворяет только 4. Значит, первая система имеет единственное решение: х = 4. Решая уравнение х² — 4х + 3 = -( 2х -5) найдем, что его корнями служат числа 1 - √3 и 1 + √3. Из них условию 2х — 5 ≥ 0, т.е. х ≥ 2,5,

удовлетворяет только 1 + √3. Значит, вторая система имеет единственное решение: х = 1 + √3. Множеством корней исходного уравнения служит объединение множеств решений систем, т.е.множество, состоящее из чисел 4 и 1 + √3.

Ответ: 4; 1 + √3.

Один из распространенных приемов, которым часто пользуется при решении уравнений с переменной под знаком модуля, состоит в том, что освобождаются от знака модуля, выделяя промежутки, в которых выражение, записанное под знаком модуля, сохраняет знак.

Пример 4.

Решите уравнение: х² — 4 | х — 3 | - 2х — 7 = 0.

Решение:

Это уравнение свести к виду |f (x) | = g (x). Удобнее, однако, воспользоваться тем, что двучлен х — 3 сохраняет знак на каждом из промежутков, на которые корень, т.е.число 3, разбивает координатную прямую. Освобождаясь от знака модуля, плучаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

{ х² - 4 ( х — 3) — 2х — 7 = 0, х ≥ 3 или { х² - 4 ( 3 — х) — 2х — 7 =0, х < 3

Решая уравнение х² - 4 ( х — 3) — 2х — 7 = 0, найдем, что оно имеет корни 1 и 5. Учитывая условие х ≥ 3, находим, что решением первой системы является число 5. Решая уравнение х² - 4 ( 3 — х) — 2х — 7 =0, найдем, что оно имеет корни -1 - √20 и -1 + √20. Значит, решением второй системы является число -1 - √20. Следовательно, исходному уравнению удовлетворяют два числа: 5 и -1 - √20.

Ответ: 5; -1 - √20.

Примеры.

Решите уравнения:

1) | х² — 1 | = 0 Ответ: - 1; 1.

1. | 8 — х² | = 1 Ответ: - 3; 3; - √7; √7.

2. | х² — 5х + 1 | = 5 Ответ: 2; 3; 5/2 - √41/2; 5/2 +√41/2.

4) | х² — х + 1 | = 1 Ответ: 0; 1.

5) | х² + 3х — 4 | = 3х Ответ: 2.

6) | х² — 4х + 4 | = х Ответ: 1; 4.

7) 6х = | х² + 8х — 8 | Ответ: 2; 7 + √57

8) | 2х² + 5х — 10 | = 5 — 2х Ответ: - 5; 1,5; - 2,5; 1.

9) | х² — х + 3 | = х + 2 Ответ: 1.

10) х — 1 = | 6х² + 2х — 2 | Ответ: корней нет.

11) х²-4| х + 1 | - 41 = 0 Ответ: 9; - 2 - √41.

12) 3х² — 5| х — 2 | - 12 = 0 Ответ: 2; - 3 2.

3

13) | 2х² — 3х + 1 | = | х² + х — 2 | Ответ: 1; 3; - 1/3.

14) | 11х² — 10х + 2 | = | х² + х | Ответ: 11 - √41 ; 11+√41

20 20

Занятие 14— 16. Уравнения, содержащие модуль. Способы их решения.

Пример 1.

Решите уравнение | х - 1 | + | х — 3 | = 6

Решение:

Решить уравнение | х - 1 | + | х — 3 | = 6 — значит найти все такие точки на числовой

оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1 и

3 равна 6. Ясно,

I II III IV V

│ │ │ │

-1 1 3 5 х

что ни одна из точек отрезка [ 1; 3 ] не удовлетворяет этому условию, так как сумма

указанных расстояний для любой из них равна 2 ( т.е.не равна 6 ). Вне этого отрезка

существуют только две искомые точки: точка с координатой 5 и точка с координатой

• 1.

Ответ: 5; -1.

Пример 2.

Решите уравнение: | х — 1 | - | х — 3 | = 2.

Решение:

Аналогична геометрическая интерпретация и этого уравнения. Найдем на числовой

прямой Ох все такие точки, для каждой из которых разность расстояния от нее до

точки с координатой 1 и расстояния от нее до точки с координатой 3 равна 2.

I II III

● ●

1 3 х

Так как длина отрезка [ 1; 3 ] равна 2, то ясно, что любая точка с координатой

х ≥ 3 удовлетворяет, а любая точка с координатой х < 3 не удовлетворяет ему. Таким

образом, решением исходного уравнения является множество всех чисел из

промежутков [ 3; +∞ ).

Ответ: [ 3; +∞ ).

Пример 3.

Решите уравнение: | 2 + | 2 + х | | = 3

Решение:

1. 1. 2+ х = 0

х = -2

1. 1. х < -2

| 2 + ( 2 + х ) | = 3

| 2 — 2 — х | = 3

| х | = 3

х = - 3

1. 1. х≥ -2 ●\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \●\ \∕\ ∕\ ∕ \∕

| 2 + ( 2 + х ) | = 3 - 4 - 2 х

| 2 + 2 + х | = 3

| 4 — х | = 3

х ≥ - 4 4 + х = 3

х = - 1

Ответ: - 3; - 1.

Примеры.

Решите уравнения:

1) | | 2х — 1 | - 1 | = 0 Ответ: 0; 1.

2) | | х + 1 | + 3 | = 5 Ответ: 1; - 3; - 9.

3) | | х + 6 | - 6 | = 6 Ответ: 6; -18;- 6.

4) | 7 - | 3х — 1 || = 2 Ответ: 2; - 4/3; 10/3; -8/3.

5) | 4,5 - | 3,5х — 2 || = 3 Ответ: -1 4 ; 2 5 ; 1 ; 1.

7 7 7

6) | х — 4 | + | х — 1 | + | х + 5 | = 12 Ответ: 4; -2.

7) | х — 2,5 | + | х — 4,5 | = 2 Ответ: 3; 4.

8) | х + 3 | + | х — 2 | = 5 Ответ: -3; - 2; - 1; 0; 1; 2.

9) 6х² — 7| х | - 3 = 0 Ответ: 1,5; - 1,5.

10) х² — 18| х - 2 | - 4 = 0 Ответ: -20; 2; 16.

11) х| х — 6 | + 7 = 0 Ответ: - 1.

12) х| 13 -х | - 22 = 0 Ответ: 2; 11; 6,5 + √64,25.

Дополнительный материал.

Решите уравнения:

1. 1. | х | = | 3 — 2х | - х -1 Ответ: 0,5.

   2. | 8 — 5х | = | 3 + х | + | 5 — 6х | Ответ: [-3; 5/6 ].

   3. | 2х — 3 - | х + 2 || = 8х +12 Ответ: - 7/9.

   4. | 2 — 3х | = | 5 — 2х | Ответ: - 3; 1,4.

   5. | 3х² + 8 | = | х² — 16х + 6 | Ответ: -4 - √15; -4 + √15.

   6. | 4х² – 29х + 51 | = | 2х² – 19х +39 | Ответ: 2; 3; 5.

   7. | 9 - 2х | = | 3 – 3х | + | 6 +х | Ответ: х ϵ [ -6; 1 ].

   8. | 3х +2 | = | х – 1 | + 2х -5

   9. | х + 1 | + | 2 – х | - | х + 3 | = 4

   10. || х -3 | + 2 | = 3х -5

   11. || 2х – 5 | + | х | - 1 | = 8

   12. х² = |1 – х²| Ответ: -√2/2;√2/2.

Литература.

1. 1. З.Н. Альхова, А.В. Макеева Внеклассная работа по математике. - Саратов:

«Лицей», 2001г.

1. 1. Ю.Н.Макарычев и др. Алгебра. 9 класс: учебник для классов с углубленным

изучением математики. - М.: Мнемозина, 2004г.

1. 1. Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло Алгебра. Учебник для учащихся

8 класса с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 2005г.

1. 1. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989г.