Проект "Комплексные числа"

Министерство просвещения Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 7 города Бирска

муниципального района Бирский район Республики Башкортостан

Индивидуальный проект

на тему:

Комплексные числа

Выполнила: ученица 11 А класса

…

Руководитель: учитель математики

Князева Наталья Николаевна

Бирск 2024

ВВЕДЕНИЕ

Значительный шаг на пути развития математики осуществился с появлением нового вида чисел – комплексных. Алгебра комплексных чисел применяется при математическом моделировании многих процессов современной науки и техники.

Решая квадратные уравнения, часто оказывается, что дискриминант отрицателен и решений нет. Нет решений только в действительных числах, на самом же деле, найти корни любого квадратного уравнения представляется возможным в случае применения знаний о комплексных числах. Аналогичная ситуация обстоит и с уравнениями 3-ей, 5-ой и других нечётных степеней.

Совершая поиск информации для научной работы, можно встретить многие современные процессы, описание которых происходит на базекомплексногоанализа. Значит,комплексные числабудут являться необходимыми во многих отраслях науки и техники. Тема данной работы актуальна в связи с тем, что многим современным новаторским индустриям в перспективе окажутся необходимы знания комплексных чисел.

Предмет исследования: комплексные числа.

Объект исследования: разнообразные формы комплексного числа и действия над ними.

Гипотеза: изучение раздела о комплексных числах позволит увеличить уровень математической грамотности и в перспективе внедрить свои знания в область науки и техники.

Цель работы: ознакомиться с комплексными числами и указать их роли и перспективы применения в различных отраслях человеческой деятельности.

Задачи:

1. Изучить литературу по выбранной теме.

2. Изучить историю возникновения комплексных чисел.

3. Охарактеризовать понятие комплексного числа.

4. Рассмотреть формы представления комплексного числа.

2. Проанализировать действия над комплексными числами.

3. Привести примеры решения уравнений в комплексных числах.

4. Рассмотреть и привести примеры применения комплексных чисел в физических задачах.

5. Проанализировать перспективы применения комплексных чисел.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. История возникновения комплексных чисел

Исторически комплексные числа впервые были введены в связи с выведением формулы вычисления корней кубического уравнения . Итальянский математик Никколо Фонтана Тарталья (1499-1557 гг.) в первой половине XVI века получил выражение для корня такого уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых составляется система. Но было выяснено, что такая система не для всех кубических уравнений имела решение в действительных числах. Это непонятное на то время явление объяснил в 1572 году Рафаэль Бомбелли (1526-1572 гг.) что, по сути, было введением комплексных чисел и действий над ними.

Но долгое время полученные результаты многими учёными считались сомнительными и лишь в XIX веке после появления трудов немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Карла Фридриха Гаусса (1777-1855 гг.) существование комплексных чисел стало общепризнанным.

Хотя согласно некоторым источникам, мнимые величины были впервые упомянуты в 1545 году в известном труде "Великое искусство, или об алгебраических правилах" итальянского математика, инженера, философа, медика и астролога Джероламо Кардано (1501-1576 гг.) в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении дают 40.

Выражения, представимые в виде , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть "мнимыми" в XVI-XVII вв. с подачи французского философа, математика, механика, физика и физиолога Рене Декарта (1596-1650 гг.), который называл их так, отвергая их реальность.

Один из способов построения множества комплексных чисел состоит в том, что множество действительных чисел расширяют присоединением к этому множеству корня уравнения .

Продолжительное время стоял вопрос, является ли множество комплексных чисел замкнутым, то есть все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней n-ой степени из рассматриваемого комплексного числа была решена в работах английского математика Абрахама де Муавра (1667-1754 гг.) в 1707 году и английского математика и философа Роджера Котса (1682-1716 гг.) в 1722 году.

Символ i для обозначения мнимой единицы предложил швейцарский, немецкий и российский математик и механик Леонардо Эйлер в 1777 году, взявший для этого первую букву латинского слова "imaginarius" – мнимый. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область.

1.2. Понятие комплексного числа и комплексной плоскости

Комплексное число – это число вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица (величина, квадрат которой равен -1); x называется действительной частью, а у – мнимой частью числа (обычно действительную часть числа Z обозначают Re(Z), а мнимую – Im(Z)). При комплексное число Zсчитают совпадающим с действительным числомх. При число Z называется чисто мнимым. Комплексное число и называются комплексно сопряжёнными. Арифметические действия над комплексными числами производятся по правилам действий над многочленами с использованием равенства. Свойства действий над комплексными числами такие же, как и над действительными числами, но для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не имеют смысла.

Любое уравнение , где a₁, … , a_n – комплексное число, имеет в множестве комплексных чисел n корней (с учётом их кратности).

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат. В такой системе числу соответствует точка с координатами (x;y). Эта система координат называетсякомплексной плоскостью (см. рис. 1).

Рис. 1. Комплексная плоскость

1.3. Формы представления комплексного числа

Всего существует четыре формы представления комплексного числа:

• алгебраическая;

• геометрическая;

• тригонометрическая;

• показательная.

Алгебраическая форма – это представление комплексного числа в виде суммы .

Геометрическая форма комплексного числа – это его представление на комплексной плоскости в виде точки , где(x; y) – координаты этой точки на действительной и мнимой оси комплексной плоскости соответственно. Из геометрической формы следует понятия модуля или абсолютной величины комплексного числа, сопряженных комплексных чисел и аргумента комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора (см. рис. 2), соответствующей точке комплексной плоскости. Таким образом, если , то .

Рис. 2. Радиус-вектор на комплексной плоскости

Аргументом комплексного числа называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу, и обозначается . Для числааргумент не определен.

Из этого определения выводятся следующие соотношения:

Главным значением аргумента называется такое значениеφ, при котором . Обозначается:.

Также справедливы следующие свойства аргумента:

1. –аргумент от сопряженного комплексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа.

2. –аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел.

3. –аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел.

4. 

Комплексно-сопряженными числами (см. рис. 3), называются два числа вида и .

Рис. 3. Сопряженные комплексные числа

Такие числа симметричны относительно действительной оси комплексной плоскости. Для комплексно-сопряженных чисел справедливы следующие соотношения:

;

;

.

(сопряженное к сопряженному есть исходное).

Тригонометрическая форма комплексного числа (см. рис. 4) связана с геометрической. Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент комплексного числа φ в виде , то любое ненулевое комплексное число можно представить как .

Рис. 4. Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа является следствием из формулы Эйлера, которая имеет фундаментальное значение в комплексном анализе. Формула Эйлера утверждает, что для любого комплексного числа Z выполняется следующее равенство:

где e – число Эйлера,i – мнимая единица, .

Соединив это равенство с тригонометрической формой комплексного числа, получим:

Для тригонометрической формы записи верны следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. .

Для показательной формы записи справедливы следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. 

4. ;

5. , .

Формула Муавра:

1.4. Действия над комплексными числами

Для комплексных чисел определены следующие математические операции:

• сложение;

• вычитание;

• умножение;

• деление;

• возведение в степень;

• извлечение корня;

• введение под знак модуля

Сложение и вычитание двух комплексных чисел выполняются аналогично сложению и вычитанию соответствующих им радиус-векторов на комплексной плоскости, т.е. если даны два комплексных числа и , гдеa, c – их вещественные части, а b, d – мнимые, то:

Умножение двух комплексных чисел и :

Конечная формула:

Деление двух комплексных чисел и :

Конечная формула:

Для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа будем применять формулу Муавра:

Модулем комплексного числа называется число и обозначается , т.е.

Выводы по І главе

Начиная с XVI века, многие великие ученые работали над продвижением знаний о комплексных числах. Разработав алгебраическую модель и определив геометрическое представление комплексного числа, начиная с ХІХ века началось исследование функции комплексного переменного.

Числа, составленные из мнимой и реальной частей, принадлежат собственному множеству, которое обозначается как «С». С комплексными числами можно производить операции сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степени и извлечение корня. Отличительной их особенностью является то, что эти числа невозможно сравнивать, как это происходит с вещественными числами.

Комплексные числа можно представить в алгебраической, геометрической, тригонометрической и показательной формах. Изображение этих чисел происходит на комплексной плоскости, аналогичной Декартовой системе координат.

Итак, комплексные числа наряду со всеми остальными обладают собственными свойствами, характеристиками и видами.

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Решение примеров с комплексными числами

Найдите значение выражения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

2.2. Решение уравнений в комплексных числах

1)Решите уравнение .

Решение:

Оно не имеет смысла на множестве действительных чисел, однако рассматривая его решение в поле комплексных чисел, уравнение обретает смысл:

Из определения мнимой единицы получаем корень

Ответ:

2) Решите уравнение

Решение:

Представим и получим:

Ответ:

3)Решите уравнение .

Решение:

Ответ:

4)Решите уравнение .

Решение:

Чтобы решить такое уравнение нужно возвести комплексное число в третью степень. Пусть , такое что .

Для данного комплексного числа нельзя применить формулу Муавра, т.к. невозможно определить аргумент , поэтому просто перемножим число Z само на себя три раза:

,

Таким образом:

Ответ:

2.3. Преобразования комплексных чисел

1) Возвести в степень комплексное число:

.

2) Записать в тригонометрической форме комплексное число:

,

,

,

,

,

Таким образом:

.

3) Записать в тригонометрической форме комплексное число:

,

,

,

,

Таким образом:

.

2.4. Комплексные числа в физике и технике

Комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике. Они широко применяются в следующих сферах:

• квантовая механика;

• обработка сигналов;

• теория управления;

• электромагнетизм;

• теория упругости;

• теория колебаний.

Посмотрим, как комплексные числа применяются в электротехнике.

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.).

Пример 1:В схеме (см. рис. 5) закон изменения ЭДС . Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Рис. 5.Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (см. рис. 6):

Рис.6. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен:

где U – комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим так:

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида приφ = 0° равно:

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется так:

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде:

Находим комплексное сопротивление индуктивности:

Находим комплексное сопротивление емкости:

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи:

Ток в цепи:

Комплексные напряжения на элементах:

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство:

Проверяем:

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (см. рис. 7) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить: 1) полное сопротивление электрической цепи и его характер; 2) действующие значения токов в ветвях; 3) показания вольтметра и ваттметра.

Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, , L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.7. Цепь однофазного синусоидального тока

Решение:

1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:

Учитываем, что:

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи:

Откуда:

– нагрузка носит активно-индуктивный характер.

1. Находим действующие значения токов в ветвях:

Составим схему с комплексными величинами (см. рис. 8).

Рис. 8. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно:

1. Определим показания приборов:

Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:

U=220 В

Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви.

Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3.

Его показания:

2.5. Перспективы применения комплексных чисел

Одно из наиболее распространенных применений комплексных чисел – это в электротехнике и электронике. В этих областях комплексные числа используются для описания взаимодействия переменного тока. Благодаря комплексным числам возможно анализировать и решать электрические цепи, моделировать их поведение или создавать сложные электронные схемы.

Комплексные числа также широко применяются в физике. Например, они помогают описывать колебания, волны и различные физические процессы, которые не могут быть описаны обычными действительными числами. Благодаря комплексным числам физики могут более точно моделировать и предсказывать поведение физических систем и явлений.

Кроме того, комплексные числа применяются в математике и инженерии для решения сложных уравнений и систем уравнений. Они играют важную роль в алгебре, теории вероятности и статистике. Комплексные числа также находят применение в компьютерной графике и визуализации данных.

Таким образом, применение комплексных чисел в реальной жизни далеко не ограничивается учебной программой. Они находят широкое применение в электротехнике, физике, математике и других областях. Понимание комплексных чисел может помочь нам разобраться в сложных вопросах и научиться анализировать и решать разнообразные задачи.

Выводы по II главе

Решение в комплексных числах даёт возможность находить корни уравнения в случае получения отрицательного дискриминанта; при решении уравнений нечётной степени. Получение нового вида решений привело к развитию отдельного раздела математики «Комплексный анализ».

Комплексные числа широко применяются при расчёте электрических цепей переменного тока. Вычисления осуществляются с одноименными величинами, но в разные временные промежутки. Выбор вида комплексного числа зависит от сложности поставленной задачи.

Следует учесть, что при сложении и вычитании комплексных чисел следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма. Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами.

С помощью комплексных чисел описываются свойства одной величины. Значит, любую интересующую величину можно охарактеризовать, применив комплексный анализ.

Среди современных сфер деятельности человека существует огромная перспектива внедрения комплексного анализа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной исследовательской работе были проанализированы литературные источники, которые раскрыли представление о понятии комплексного числа. Был рассмотрен вопрос истории возникновения комплексных чисел. Выделены основные этапы развития математики на пути к совершенствованию знаний о числах, состоящих из мнимой и реальной части. Раскрыты понятия комплексного числа. Охарактеризованы формы представления этих чисел, а так же операции над ними. Проведена работа по изучению графического представления комплексных чисел с помощью комплексной плоскости.

Подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел, входящие как в курс математики, так и в курс электротехники. Проведена оценка значения и роли комплексных чисел при решении ряда математических уравнений.

Задачи, поставленные в научно-исследовательской работе, выполнены. Цель, состоящая в ознакомлении с комплексными числами и указании их роли и перспективы применения в различных отраслях человеческой деятельности, выполнена.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аргумент комплексного числа, его свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула Муавра [Электронный ресурс] URL: https://studopedia.info/3-26036.html (29.11.2022).

2. Где применяются комплексные числа [Электронный ресурс] URL: https://www.geeksforgeeks.org/how-are-complex-numbers-used-in-real-life (10.11.2023).

3. История возникновения комплексных чисел [Электронный ресурс] URL: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_16_0.php (25.11.2022).

4. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. огранизаций: базовый и углубл. уровни / [Ю. М. Колякин, М. В. Ткачёва, Н. Е Фёдорова, М. И. Шабунин]. – 7-е изд. – М. : Просвещение, 2019. – 384 с. : ил.

5. Понятие комплексного числа и комплексной плоскости [Электронный ресурс] URL: https://bigenc.ru/mathematics/text/2087169 (25.11.2022).

6. Применение комплексных чисел в реальной жизни [Электронный ресурс] URL: https://centr-tsiryulnik.ru/primenenie-kompleksnyx-cisel-v-razlicnyx-oblastyax-zizni-ot-fiziki-i-elektrotexniki-do-ekonomiki-i-muzyki (6.01.2024).

7. Символический (комплексный) метод расчёта цепей переменного тока [Электронный ресурс] URL: https://electrikam.com/simvolicheskij-kompleksnyj-metod-rascheta-cepej-peremennogo-toka (6.01.2024).

8. Формы представления комплексных чисел [Электронный ресурс] URL: https://studfile.net/preview/7164822/page:3 (29.11.2022).