Составление текста школьного тура олимпиады по математике

Класс

Текст заданий

Пример оформления решения

Критерии оценки задания

5

1. Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (22 : 2 - 2 : 2) ∙ (22 : 2 - 2 : 2) . Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

2.Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом? (Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка нашла бы стул, рядом с которым никто не сидит).

3. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ).

1) 100 = 222 : 2 - 22 : 2, 2) 100 = (2 • 2 • 2 + 2) • (2 • 2 • 2 + 2)

Если за столом в каком-нибудь месте было бы три свободных стула подряд, то Белоснежка смогла бы сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Значит, какие бы три подряд идущих стула мы не взяли, по крайней мере, на одном из них должен сидеть гном. Так как всего стульев 30, то меньше, чем 10 гномов быть не может. Покажем, что рассадить 10 гномов так, чтобы выполнялось условие задачи можно: посадим гномов через два стула: на первый стул, на четвертый стул, на седьмой и т.д. Тогда условие задачи будет выполнено.

Ответ. 10.

1 способ. Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов.

2 способ. Пока Маша делает 3 • 5 = 15шагов, папа делает 3 • 3 = 9шагов, а Яша делает 5 • 5 = 25шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 9 • 10 = 90 шагов.

Ответ. 90 шагов.

Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов.

Полное решение – 7 баллов. Приведен пример рассадки и есть рассуждения, почему меньше гномов быть не может с некоторыми пробелами – 5-6 баллов. Дан верный пример рассадки, но не объяснено, почему меньше гномов быть не может – 3 балла. Дан ответ, объяснено, почему меньше гномов быть не может. Но как сидят гномы не объяснено – 3 балла.

Только ответ – 1 балл.

Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой – 4 балла. Только ответ – 0 баллов.

6

1. Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (33 : 3 - 3 : 3) (33 : 3 - 3 : 3). Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

2.Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном ведре).

3. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ).

100 = 333:3 - 33:3, 2) 100 = 33 • 3 + 3:3.

Запишем в виде таблицы последовательность наполнения ведер:

1 способ. Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов.

2 способ. Пока Маша делает 3 • 5 = 15шагов, папа делает 3 • 3 = 9шагов, а Яша делает 5 • 5 = 25шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 9 • 10 = 90 шагов.

Ответ. 90 шагов.

Любой верный пример – 7 баллов.

Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов.

Правильный алгоритм – 7 баллов. Разумные продвижения, например, отмерено 8 л – до 3 баллов.

Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой – 4 балла. Только ответ – 0 баллов.

7

1. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша — Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

2. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное.

а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5.

б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?

3. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (77 : 7 - 7 : 7) • (77 : 7 - 7 : 7).Улучшите его результат: используйте меньшее число семерок и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

Критерии оценки.

Скорость Коли составляет 0,9 от скорости Лёши. В момент, когда Саша финишировал, Лёша пробежал 90 м, а Коля 0,9·90 = 81м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было 19 м.

Ответ. 19 м.

Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры - это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми – от сочетания 00 до сочетания 99 – всего 100 вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100.

Ответ.

а) Например, 51715 любое зеркальное число, оканчивающееся на 5.

б) 100.

1) 100 = 777 : 7 - 77 : 7, 2) 100 = 7·7 + 7·7 + 7: 7 + 7: 7.

Полное решение – 7 баллов.

Найдено сколько пробежал Коля, но не найдено расстояние между Сашей и Колей – 5 баллов.

Есть существенное продвижение, например, найдены отношения скоростей бегунов – 2-3 балла.

Только ответ – 0 баллов.

а) Любой верный пример числа – 2 балла.

б) Верное обоснованное решение – 5 баллов.

Частично верные рассуждения при неверном ответе – до 1-2 балла.

Только верный ответ – 0 баллов.

Любой верный пример – 7 баллов.

Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов.

8

1. Замените в выражении (х³ – 2)² + (x² + *)² звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых.

2. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное.

а) Напишите какое-нибудь зеркальное пятизначное число, которое делится на 5.

б) Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?

3. Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша — Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Заменим звездочку (*) на 2х: (х³ – 2)² + (x² + 2х)² = х⁶ – 4х³+ 4 + х⁴ + 4х³ + 4х² = х⁶ +х⁴ +4х² +4. Ответ. х⁶+х⁴ +4х² +4.

Число, которое делится на 5, должно оканчиваться на 5 или на 0. Зеркальное число оканчиваться на 0 не может, так как тогда оно должно на 0 начинаться. Итак, первая и последняя цифры - это 5. Вторая и третья цифра могут быть любыми – от сочетания 00 до сочетания 99 – всего 100 вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет 100.

Ответ.

а) Например, 51715 любое зеркальное число, оканчивающееся на 5.

б) 100.

Скорость Коли составляет 0,9 от скорости Лёши. В момент, когда Саша финишировал, Лёша пробежал 90 м, а Коля 0,9·90 = 81м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было 19 м.

Ответ. 19 м.

Верное решение – 7 баллов.

Верно найден одночлен, верное решение с одной ошибкой (опиской) при возведении в квадрат – 4 балла.

Найден одночлен, но не объяснено, почему он является решением – 2 балла.

а) Любой верный пример числа – 2 балла.

б) Верное обоснованное решение – 5 баллов.

Частично верные рассуждения при неверном ответе – до 1-2 балла.

Только верный ответ – 0 баллов.

Полное решение – 7 баллов.

Найдено сколько пробежал Коля, но не найдено расстояние между Сашей и Колей – 5 баллов.

Есть существенное продвижение, например, найдены отношения скоростей бегунов – 2-3 балла.

Только ответ – 0 баллов.

9

1. Замените в выражении (х⁴ - 3)² + (x³ + *)² звездочку (*) на одночлен так, чтобы после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось четыре слагаемых.

2. В равенстве 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 поставьте несколько знаков модуля так, чтобы оно стало верным.

3. Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку?

Заменим звездочку (*) на 3х: (x⁴ - 3)² + (x³ 3x)² = х⁸ – 6х⁴ + 9 + х⁶ +6х⁴ +9х² = х⁸ + х⁶ +9х² + 9

Первый способ. Если Чебурашка ест вдвое медленнее Гены, то, чтобы съесть столько же торта, сколько съел Гена, ему нужно в два раза больше времени. Значит, то время, которое Чебурашка ел в одиночку (1 минута), составляет половину всего времени, за которое Чебурашка съел половину торта. Таким образом половину торта он съел за 2 минуты, а весь торт съел бы за 4 минуты. Второй способ. Пусть Гена съедает весь торт за x минут, тогда Чебурашке на весь торт нужно 2x минут. Каждому из них досталась половина торта, то есть Гена ел 0,5x минут, а Чебурашка x минут. Из условия следует, что 0,5x + 1 = x, откуда x = 2. Значит, Чебурашка съест торт за 2⋅2 = 4 минуты.

Верное решение – 7 баллов.

Верно найден одночлен, верное решение с одной ошибкой (опиской) при возведении в квадрат – 4 балла.

Найден одночлен, но не объяснено, почему он является решением – 2 балла.

Любой верный пример — 7 баллов.

Любое полное верное решение — 7 баллов.

Верно составлено и решено уравнение или проведены верные рассуждения, но дан ответ не на тот вопрос — 6 баллов.

Решение, в котором рассмотрена конкретная масса торта, — 2 балла.

Уравнение составлено верно, но решено неверно — 2 балла. Приведён верный ответ, и проверено, что он удовлетворяет условию задачи, — 1 балл.

Приведён только ответ — 0 баллов.

10

1. В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?

2. Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

3.М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Если вызвано n десятиклассников, то дано n(n – 1) = 44 + 28 = 72 ответа, откуда n = 9. Пусть из этих 9 школьников t правдивцев и (9 – t) лжецов. Ответ «лжец» может дать только лжец про правдивца и правдивец про лжеца, таких фраз было 2t(9 – t) = 28, откуда t = 2 или t = 7. Если правдивцев двое, то они дали 2 ⋅ 8 = 16 правдивых ответов. Если правдивцев семеро, то они дали 7 ⋅ 8 = 56 правдивых ответов

Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а с горы - у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому + и b = и решим систему уравнений: Она имеет единственное решение

a = , b = . Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.

Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч

Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.

Полное решение — 7 баллов. Правильно найдены оба случая (сколько правдивцев и лжецов), но неверно подсчитано число правдивых ответов — 4 балла.

Возможны 2 ситуации, описанные в задаче. Если верно разобрана только одна, то ставить 3 балла.

Приведены оба ответа без объяснения — 1 балл. Приведён только один из ответов — 0 баллов.

7 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.

6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.

4 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).

3 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.

1 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

7 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.

6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.

4 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).

3 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.

1 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

11

1. За лето однокомнатная квартира подорожала на 21 %, двухкомнатная — на 11 %, а суммарная стоимость квартир — на 15 %. Во сколько раз одно- комнатная квартира дешевле двухкомнатной?

2. Если число 10010 записать в виде суммы десяток (10+10+10+…), то сколько получится слагаемых?

3.Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых.

Пусть однокомнатная квартира стоила a рублей, двухкомнатная — b рублей. Тогда из условия задачи следует, что 1,21a + 1,11b = 1,15(a + b), откуда 1,5a = b.

100¹⁰= 10²⁰=10·10¹⁹ . Значит, всего будет 10¹⁹ слагаемых.

Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10+5+1). Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук. Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду.

Любое полное верное решение — 7 баллов.

Получено нужное уравнение с двумя переменными, а далее из уравнения сделаны неверные выводы или не сделано никаких выводов, — 3 балла. Решение, в котором рассмотрены конкретные цены квартир, — 2 балла. Только верный ответ — 0 баллов.

Верное решение – 7 баллов.

Только ответ – 2 балла.

Полное решение – 7 баллов.

Верный ответ, полученный на конкретном примере – 2 балла.